Rozmaitości dwuwymiarowe dzielą się na trzy geometryczne typy [ilustracja na następnej stronie]. Sfera ma krzywiznę dodatnią (taką jak szczyt obłego pagórka). Zgeometryzowany torus jest płaski ma zerową krzywiznę niczym płaszczyzna. Wszystkie inne rozmaitości dwuwymiarowe o dwóch lub większej liczbie rączek mają krzywiznę ujemną. Ujemna krzywizna charakteryzuje kształty w rodzaju przełęczy górskiej lub siodła, które w dwóch różnych kierunkach są wygięte w przeciwne strony. Tę geo a GEOMETRYZACJA metryczną klasyfikację powierzchni zaproponował Poincare (któżby inny?) wspólnie z Paulem Koebem i Feliksem Kleinem (od którego nazwiska bierze nazwę butelka Kleina). Jest rzeczą naturalną próbować posłużyć się podobnymi metodami w przypadku rozmaitości trójwymiarowych. Czy każdą rozmaitość trójwymiarową można wyposażyć w szczególną, wyróżnioną geometrię, która sprawia, że krzywizna jest rozłożona idealnie równomiernie na całej rozmaitości? Okazuje się, że rozmaitości trójwymiarowe są dużo bardziej skomplikowane niż powierzchnie: na ogół nie mogą mieć tak eleganckiej geometrii. Można pomyśleć o pewnej namiastce i zapytać, czy da się rozciąć rozmaitość trójwymiarową na części, z których każda będzie mieć (inną) kanoniczną geometrię. Takich modelowych kanonicznych rodzajów geometrii jest w przypadku trójwymiarowym nie trzy jak dla powierzchni, lecz osiem. Rozcinanie rozmaitości trójwymiarowych na odpowiednie części przypomina w jakimś sensie rozkładanie liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Taki hipotetyczny sposób klasyfikacji zaproponował pod koniec lat siedemdziesiątych Thurston, który wspólnie z kolegami po fachu utorował drogę do pełnego opisu rozmaitości trójwymiarowych. Kluczowe punkty systemu klasyfikacji, w tym ta jego część, która zawiera hipotezę Poincarego, pozostały jednak poza zasięgiem matematyków. Czy sfera trójwymiarowa jest jedyna? Prace Perelmana przynoszą odpowiedź na to pytanie i wieńczą sukcesem cały program Thurstona. W jaki sposób można próbować zgeometryzować rozmaitość, tzn. nadać jej w każdym miejscu identyczny rodzaj zakrzywienia? Jeden ze sposobów polega na tym, by zacząć od zupełnie dowolnej geometrii być może od czegoś w kształcie jaja z najróżniejszymi wypustkami i wgłębieniami a następnie wygładzić wszelkie nieregularności. Hamilton na początku lat osiemdziesiątych zaczął w taki właśnie sposób badać rozmaitości trójwymiarowe, wykorzystując do wygładzania ich kształtów równanie zwane potokiem Ricciego (od nazwiska geometry, Gregoria RicciegoCurbastra), które pod pewnymi względami przypomina równanie przewodnictwa cieplnego. W ciele, w którym są miejsca zimne i gorące, ciepło dopóty w naturalny sposób przepływa z obszarów mocniej nagrzanych do chłodniej rozmaitości dwuwymiarowe można sklasyfikować, przypisując im szczególne geometrie, czyli nadając sztywne kształty. W szczególności każdej powierzchni można nadać taki kształt, by miała równomierną (stałą) krzywiznę. Sfera (a) jest jedyną powierzchnią o stałej krzywiźnie dodatniej, tzn. w każdym punkcie jest zakrzywiona tak jak szczyt pagórka. Torus (b) można bez sklejania i rozcinania spłaszczyć, tzn. nadać mu stałą krzywiznę równą zeru. (Ściśle biorąc, można to wykonać w przestrzeni czterowymiarowej. Ów zabieg polega na zwinięciu płaszczyzny w długi, nieskończony walec, a następnie zwinięciu tego walca w torus. Gdyby na płaszczyźnie narysować równomierną kratę, to każdy kwadrat tej kraty przykryłby w wyniku tego zwijania cały torus). Powierzchniom genusu 2 i większego (c) można nadać stałą krzywiznę ujemną; szczegóły tej procedury zależą od liczby rączek. Innym przykładem powierzchni z brzegiem, o krzywiźnie ujemnej jest siodło. pełną klasyfikacją rozmaitości trójwymiarowych dysponujemy dzięki pracy Perelmana, podobną w ogólnych zarysach do klasyfikacji powierzchni, tylko dalece bardziej skomplikowaną. Ogólnie biorąc, każdą rozmaitość trójwymiarową trzeba najpierw pociąć na części, tak jak liczbę rozkłada się na czynniki pierwsze. Każdą z tych części można następnie wyposażyć w jedną z ośmiu modelowych, kanonicznych geometrii. Pokolorowana na niebiesko rozmaitość trójwymiarowa poniżej (z konieczności przedstawiona na rysunku jako obiekt dwuwymiarowy zawiera odpowiedniki pięciu z nich: o stałej krzywiźnie dodatniej (a), zerowej (b) i ujemnej (c), produkt sfery dwuwymiarowej i okręgu (d) i wreszcie produkt powierzchni o krzywiźnie ujemnej i okręgu (e). Rozmaitości trójwymiarowe PRZYKŁADY KANONICZNYCH GEOMETRII TRÓJWYMIAROWYCH a b c e M W O X O