Hamilton nie potrafił jednak pokonać poważnej przeszkody. Otóż w pewnych sytuacjach potok Ricciego powoduje pękanie rozmaitości lub pojawianie się w nich długich, cieniutkich ostrzy. (Jest to jedna z różnic między potokiem Ricciego a równaniem przewodnictwa cieplnego. Miejsca pęknięć lub ostrza są jak punkty, którym jakimś cudem udało się osiągnąć nieskończoną temperaturę). Jeden z przykładów to rozmaitość w kształcie hantli: dwóch sfer połączonych cienką szyjką. Potok Ricciego powiększa sfery, one zaś odciągają materiał z szyjki, która wskutek tego zwęża się w środku do punktu [ilustracja powyżej]. Z innym przykładem takiej sytuacji mamy do czynienia, gdy rozmaitość ma długi, cienki wyrostek: potok Ricciego mógłby spowodować, że na jego końcu pojawi się punktowe, szpiczaste ostrze; ten kłopot nazywa się osobliwością cy gara. Takie ostrza lub przewężenia pojawiające się na rozmaitości nazywamy osobliwościami. Powodują one, że rozmaitość przestaje być prawdziwą rozmaitością trójwymiarową. Na prawdziwej rozmaitości trójwymiarowej wokół każdego punktu można znaleźć niewielki obszar, który wygląda jak niewielki obszar w zwykłej przestrzeni euklidesowej; w punktach ostrzy lub przewężeń już tak nie jest. Odkrycie drogi, która pozwala obejść tę przeszkodę, musiało poczekać właśnie na Perelmana.